除以零
除以零 (第1/3页)
１
任何数字除以零，都不会得出一个有意义的数字来。理由是除法被定义为乘法的逆转：如果你先除以零，然后再乘以零，就会重新得到开始那个数字。然而，乘以零只会得出零，不会得出任何别的数字。没有任何数字乘以零会得出非零的结果。因此，除以零的结果实际上是无意义的。
１a
里瓦斯太太进来的时候，雷内正望着窗外。
才待了一个星期就要出院吗？连真正的待都谈不上。老天知道，我可是非得长期待下去不可。
雷内强作笑脸说：我肯定你不会待很久的。里瓦斯太太爱在病房里指手画脚。大家都知道她的所作所为不过是做做姿态而已，但医生助手们对她还是留了点神，以免她偶然成功。
哈。他们倒巴不得我走。你知道如果你死在医院里，他们会负什么责任吗？
知道
可以肯定这就是他们所担心的。始终是他们的责任
雷内没有理睬，目光又重新转向窗外，眺望一道烟雾横过天空。
诺伍德太太？护士叫道，你的丈夫来接你了。
雷内又向里瓦斯太太嫣然一笑，然后离开了。
１b
卡尔再次签了名字，最后护士把表格拿去处理。
他记得他送雷内来住院时的情景，并且想起在第一次询问时那些老套的问题。当时，他耐着性子，一一回答。
是的，她是一名数学教授。你在《名人传记》里可以找到她的名字。
不对，我是搞生物学的。
以及：
我留下了一盒我需要的载物玻璃片。
不，她不可能知道。
还有他预料中的问题：
得过。那是大约二十年前我读研究生的时候。
不，我是试图跳楼。
不，当时我和雷内还不相识。
如此等等，等等。
此时，他们确信了他能干可靠，便准备让雷内出院，接受门诊治疗。
蓦然回首，卡尔心不在焉地觉得有点吃惊。在整个询问期间，除了短暂的一刻外，他没有丝毫似曾相识的错觉。和医院、医生、护士打交道的过程中，他的惟一感觉是麻木，是枯燥无味，是机械重复。
２
有一个著名的证明，得出一等于二：该证明的开始是定义：假设a=１；假设b=１，得出结果：２=２a①，也就是说，一等于二。人们容易忽视的是，这个证明过程中将零作为被除数。在这一点上，该证明越过了雷池，使所有的法则都彻底无效。允许除以零，就是允许证明不仅一和二是相等的，而且任何两个数字无论是是真实的还是想像的，无论有理数还是无理数都是相等的。
２a
雷内和卡尔一回到家里，她就立刻走进书房，来到书桌面前，开始将她的所有手稿翻转过去，面朝下，一股脑儿扫成一堆。折腾期间，每当有一页纸面朝上，她就会情不自禁地退缩。她想干脆一把火把书稿烧了，但那样做只有象征意义。其实，只要根本不瞧它们一眼，效果是一样的。
医生也许会把这种举止描叙成自我强迫性行为。雷内想起先前自己作为病人在这些傻瓜的监护下所受到的屈辱，不禁皱起眉头。她想起自己作为有自杀念头的病人，被锁在病房里，受到医生助手们二十四小时的监护，还要接受医生的询问。他们一副屈尊的派头，说的话枯燥又乏味。她不像里瓦斯太太，不会玩弄伎俩。其实那些伎俩很简单，只要说，我知道自己还没有康复，但感觉好些了。他们就会认为你差不多可以放出去了。
２b
卡尔站在门口注视雷内片刻，这才走过门廊。他回想起整整二十年前，他自己被放出来那天的情景。他的父母驱车来接他，在回家的途中，母亲唠叨了一些空洞无物的话，什么大家见到他会多么高兴呀等等。他竭力抑制住自己，才没有挣脱母亲抱着他肩膀的手臂。
他为雷内做的一切，正是他自己在被监护期间想接受的。尽管最初她拒绝见他，他还是每天都上医院来，以便她想见他时，他在身边。他们俩有时候交谈，有时候只是在医院里散散步。他没有发现自己做的一切有什么过错，而且他知道，她很高兴他这么做。
他确实做了种种努力，但他只感觉在尽义务而已。
３
伯纳德罗素②和艾尔弗雷德怀特海③在其合著的《数学原理》中试图将形式逻辑作为数学的严谨基础。这部大作以他们所认为的公理开始，推演出愈来愈复杂的定理。到了第３６２页，他们已经建立了足够的定理，终于证明了１+１=２。
３a
七岁那年，雷内察看一个亲戚的房子，她着迷似的发现地板上铺的光滑的大理石地砖呈完美无瑕的正方形。一个一行，两个两行，三个三行，四个四行：地砖拼成正方形。无论你从哪面瞧去，形状都一样。更奇妙的是，每一个正方形都比最后一个正方形多出呈奇数的地砖。雷内获得了顿悟。结论很自然：这种形式具有一种内在的完美，由地砖那光滑、清凉的感觉所证实。还有，地砖彼此拼接，之间的线条严密得天衣无缝。她为这种精确性激动得浑身颤抖。
在往后的岁月里，她又获得了其他顿悟、其他成就。二十三岁就完成令人惊叹的博士论文，写的系列论文好评如潮。人们将她比做诺伊曼④，大学竞相笼络她。而她自己对这一切向来并不在意。她在意的是那种完美的感觉，她学到的每一个定理都具有这种完美，与地砖一样实在，一样精确。
３b
卡尔觉得今日的他是在与劳拉相识之后才诞生的。他出院后闭门不见任何人，但一位朋友设法把他介绍给劳拉。最初，他将她拒之门外，但她理解他。他身心俱疲时她爱他，一旦他康复后，她又让他自由。通过认识她，卡尔懂得了什么叫感应他人的心灵。他脱胎换骨了。
劳拉获得硕士学位后继续深造，与此同时卡尔也在大学攻读生物学博士学位。后来，他饱受各种精神危机和心脏疾病，但再也没有绝望过。
一想到劳拉这种人，卡尔就惊羡不已。自从读研究生以来，他就没有和她交谈过，这些年来她的生活怎么样？不知她爱上了什么人？他很早就认识到了这种爱是什么，不是什么。他对这种爱无比珍视。
４
十九世纪初叶，数学家们开始探索不同于欧几里得几何的几何学。这些新几何学得出了似乎荒谬的结果，但在逻辑上却没有矛盾。后来证明，非欧几何是与欧几里得几何学一致的相关学问，只要欧几里得几何学在逻辑上没有矛盾，非欧几何也就没有矛盾。
但要证明欧几里得几何学的一致性，这可难倒了数学家们。到了十九世纪末叶，所取得的成就至多证明：只要算术在逻辑上没有矛盾，那么，欧几里得几何学就没有矛盾。
４a
开始的时候，雷内只觉得这是个有点恼人的小麻烦。当时她走下大厅，敲敲彼得法布里希办公室敞开的门。彼得，有空吗？
法布里希将座椅从办公桌往后推开。当然有空，雷内，什么事？
雷内走进去，心里知道他会有什么反应。以前她从来没有向系里任何人请教过问题，都是别人向她请教。没有关系。我想请你帮个忙。几周前我曾告诉你我正在研究的体系，还记得吗？
他点了点头，你想用这个体系来改写公理系统。
正确。是这样的，几天前我开始得出十分可笑的结论，到现在我的体系也自相矛盾起来。请你看一看，好吗？
法布里希的表情在意料之中。你想当然可以，我很高兴
太好了。问题就出在头几页的例子里，其余的供你参考。说着她递给他薄薄的一扎手稿，我觉得如果让我给你从头到尾讲一遍的话，你可能会受我的引导，只能得出和我相同的结论。
也许你说得对。法布里希瞧了瞧头几页，我不知道要多久才能看完。
不着急。如果有机会的话，只是看一看我的假设是否有模糊之处，诸如此类的问题。我还会继续研究的，到时候会告诉你我是否想出了新东西。好吗？
法布里希微笑道：你准会今天下午就来，告诉我你已经发现了问题。
恐怕不会，这个问题需要我之外的另一副眼光。
他摊开双手。我试试吧。
谢谢。法布里希不大可能充分理解她的体系，但她只需要某个人来检查公式的细节问题就行了。
４b
卡尔是在一位同事举行的一次聚会上与雷内相识的。他被她那张脸吸引住了。那是一张异常平庸的脸，大多数时间不苟言笑，但在那次聚会期间他看见她微笑了两次，皱了两次眉。看她笑时觉得她不会皱眉，看她皱眉时又觉得她不会笑。卡尔很吃惊：他能够辨认出什么样的脸经常微笑，什么样的脸经常皱眉。但是对她那张脸，他却捉摸不透。
他花了很长一段时间来了解雷内，读懂她的表情。不过，这无疑是值得的。
此时，卡尔坐在书房里的安乐椅上，膝盖上放着一本最新一期的《海洋生物学》杂志，倾听雷内在客厅对面她自己的书房里揉皱纸张的沙沙声。整个晚上她都在工作，可以听出她愈来愈焦躁不安。不过他进去察看时，她又板着平时那张没有表情的脸，丝毫看不出什么来。
他将杂志放到一边，再次起身走到她的书房门口。只见书桌上摊开一册书，书页上布满难以辨识的公式，点缀着用俄语写的评注。
她浏览着一些资料，难以觉察地皱皱眉，啪的一声合上。卡尔听见她嘀咕一声无用，将书放回书架。
这样下去你会弄出高血压的。卡尔取笑道。
别以我的保护人自居。
卡尔吃了一惊，我没有。
雷内转身瞧着他，怒目相对。我知道自己什么时候工作有效率，什么时候没有。
心一凉。那么，我就不打扰你了，他退了出去。
谢谢说完，她的注意力又回到书架上。卡尔离开了，心里竭力猜测她的瞪视的含义。
５
在１９００年举行的国际数学大会上，大卫希尔伯特⑤列出了二十三个悬而未决的重大数学问题。他列出的第二大问题是请证明算术在逻辑上的一致性。这个问题一旦证明，就将保证高等数学许多内容的一致
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